수학/선형대수
-
고윳값 분해와 직교 대각화수학/선형대수 2024. 5. 11. 01:04
(이 글에서는 행렬의 모든 원소가 실수인 경우를 다룬다.) 우선 행렬의 대각화의 의미부터 알아보자.행렬의 대각화실수인 정사각 행렬 \( A \)가 주어졌을 때 이 행렬에 \( P^{-1} \)와 \( P \)를 곱한 결과인 \( P^{-1} A P \)가 대각 행렬이 된다면 \( A \)는 대각화 가능하다고 말하고, 대각 행렬 \(D\)를 이용하여 \( A = P D P^{-1}\)로 표현하는 것을 행렬의 대각화라고 한다.어떤 행렬이 대각화된다는 것은 여러모로 편리한 일인데, 예를 들어 \( A^n \)을 계산하기 위해 행렬 곱셈을 여러 번 하는 것이 아니라 \( A^n = P D P^{-1} P D P^{-1} \ldots \, P D P^{-1} = P D^n P^{-1} \)와 같이 간단히 \( A..