Incomplete Universe Incomplete Universe

행렬에 대해 처음 배우다보면 행렬들의 덧셈이나 스칼라곱은 굉장히 자연스러워 보이지만 행렬곱은 왜 그렇게 정했는지 감이 오지 않을 수 있다. 달리 말하면 행렬곱을 그렇게 정해서 특별히 문제가 될 것도 없지만 그렇다고 굳이 꼭 그렇게 정할 이유가 있어보이지 않고 아무렇게나 정해도 되는 상황에서 적당히 정한 것처럼 보일 수 있다는 뜻이다. (실제로는 그렇지 않다는 얘기를 하려는 중이다.) 예를 들어 행렬들의 곱이라는 이름을 가진 연산을 다음과 같이 정해도 되지 않을까?$$\begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\c_1 & d_1\end{bmatrix}\ast\begin{bmatrix}a_2 & b_2 \\c_2 & d_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_1 a_2 & b_1 b_..

개요특이값 분해의 응용에 대한 자료는 다른 곳에서 쉽게 찾을 수 있기 때문에 이 글에서는 실수 행렬의 특이값 분해 방법에 초점을 맞춘다.정의\( m \times n \) 행렬 \( A \)는 항상 다음과 같이 세 행렬의 곱으로 표현할 수 있고 이런 분해를 특이값 분해(Singular Value Decomposition)라고 부른다.$$ A = U S V^T $$여기서 \( U \)는 \( m \times m \) 직교 행렬, \( S \)는 \( m \times n \) 대각 행렬, \( V \)는 \( n \times n \) 직교 행렬이다.\( S \)는 특이 행렬(singular matrix)이라고 부르는데, 특이값이라고 부르는 특이 행렬의 대각 성분들은 양수(또는 0)이고 보통은 특이값들을 왼쪽 ..

(이 글에서는 행렬의 모든 원소가 실수인 경우를 다룬다.) 우선 행렬의 대각화의 의미부터 알아보자.행렬의 대각화실수인 정사각 행렬 \( A \)가 주어졌을 때 이 행렬에 \( P^{-1} \)와 \( P \)를 곱한 결과인 \( P^{-1} A P \)가 대각 행렬이 된다면 \( A \)는 대각화 가능하다고 말하고, 대각 행렬 \(D\)를 이용하여 \( A = P D P^{-1}\)로 표현하는 것을 행렬의 대각화라고 한다.어떤 행렬이 대각화된다는 것은 여러모로 편리한 일인데, 예를 들어 \( A^n \)을 계산하기 위해 행렬 곱셈을 여러 번 하는 것이 아니라 \( A^n = P D P^{-1} P D P^{-1} \ldots \, P D P^{-1} = P D^n P^{-1} \)와 같이 간단히 \( A..