Incomplete Universe Incomplete Universe

무한급수의 수렴 판정은 경우에 따라 매우 쉽기도 하지만 ( $1+r+r^2+r^3+\cdots$ ) , 다음 급수와 같은 경우는 배경 지식에 따라 쉽지 않을 수 있다. $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$$ 의 수렴 여부를 두 가지 다른 방법으로 보일텐데, 첫 번째는 $\frac{1}{n}$들을 정직하게 사용해서 무한대가 됨을 보이고, 그 다음은 특이적분을 사용해서 같은 결과가 나옴을 보이려고 한다. 1. 우선 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$의 수렴 여부를 판정하기 위해 이 급수를 다음과 같이 다시 쓰자. (사실 다음 식에서 두 번째 괄호 안에는 하나의 항이 있다.) $$\begin{aligned} \left( \frac..

실수에서 정의되는 지수함수와 로그함수의 정의로 사용되는 것은 대체로 다음 두 가지 접근인데, 거듭제곱의 개념으로부터 실수 지수함수로 확장하고 이 지수함수를 사용해서 로그함수 정의 정적분의 형태로 자연로그함수를 정의하고 자연로그함수로부터 자연지수함수 정의 각각의 정의에 따라 도함수를 구해보자. (이 글에서 $a$는 1이 아닌 양수라고 가정한다.) 1. 거듭제곱으로서의 지수함수 (이하 방법 1이라고 하자) 지수가 자연수인 경우는 가장 기초적인 경우로, 밑 $a$를 여러 번 곱한다는 의미다. 지수가 정수로 확장되어도 직관적으로 무리가 없는데, 다만 $a^0$ 과 $a^{-n}$ 같은 경우는 마음대로 정한 것은 아니고 $a^{n+m}=a^n{a}^m$와 같은 지수법칙을 따르려면 자연스럽게 정..