Incomplete Universe Incomplete Universe

행렬에 대해 처음 배우다보면 행렬들의 덧셈이나 스칼라곱은 굉장히 자연스러워 보이지만 행렬곱은 왜 그렇게 정했는지 감이 오지 않을 수 있다. 달리 말하면 행렬곱을 그렇게 정해서 특별히 문제가 될 것도 없지만 그렇다고 굳이 꼭 그렇게 정할 이유가 있어보이지 않고 아무렇게나 정해도 되는 상황에서 적당히 정한 것처럼 보일 수 있다는 뜻이다. (실제로는 그렇지 않다는 얘기를 하려는 중이다.) 예를 들어 행렬들의 곱이라는 이름을 가진 연산을 다음과 같이 정해도 되지 않을까?$$$$\left[\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ c_1& d_1\end{array}\right]$$\ast$$\left[\begin{array}{cc}{a}_2& b_2\\ c_2& d_2\end{array}\right]$$= \begin{bmatrix}a_1 a_2 & b_1 b_..

고등학교 수학에서 정수 계수 다항식의 인수분해가 나올 때는 거의 항상 일차항을 포함한 인수분해가 가능하여 그 다항식이 근을 가지는 형태로 등장한다. 그렇지 않으면 인수분해가 어렵기 때문이다. 이와 관련한 정수 계수 다항식의 성질 중 하나는 다항식 $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{x-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ 이 유리수 근을 가지면 그 형태는 $$\pm \frac{a_0\text{의 약수}}{a_n\text{의 약수}}$$ 가 된다는 사실이다. (증명은 어렵지 않으니 필요하면 각자 해보자.) 간혹 이런 근이 항상 존재하는 것처럼 설명하는 경우가 있는데 모든 정수 계수 다항식에 대해 유리수 근이 항상 존재하는 것은 아니고 만약 존재한다면 이런 형태를 가진다는 것 뿐..

$\sin (x)$이나 $\cos (x)$ 함수의 덧셈정리가 왜 성립하는지 알기 위해 온라인 문서를 찾아보면 크게 두 가지 부류가 많이 발견된다.그림을 사용해서 작은 각도에 대해 증명2차원 평면에서 회전 이동을 의미하는 행렬을 가정하는 증명첫 번째는 예를 들어 다음과 같은 그림을 보여주면서 $\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )$의 증명이라고 설명하는 경우다.양의 각 $\alpha ,\beta$ 가 둘 다 충분히 작아서 두 각의 합이 직각보다 작은 경우는 완벽한 증명이긴 하나 각도의 범위에 제한이 없는 일반각에 대해서 성립하는 설명은 아니다.두 번째는 2차원 회전 변환 \( \beg..

개요특이값 분해의 응용에 대한 자료는 다른 곳에서 쉽게 찾을 수 있기 때문에 이 글에서는 실수 행렬의 특이값 분해 방법에 초점을 맞춘다.정의$m\times n$ 행렬 $A$는 항상 다음과 같이 세 행렬의 곱으로 표현할 수 있고 이런 분해를 특이값 분해(Singular Value Decomposition)라고 부른다.$$A=US{V}^T$$여기서 $U$는 $m\times m$ 직교 행렬, $S$는 $m\times n$ 대각 행렬, $V$는 $n\times n$ 직교 행렬이다.$S$는 특이 행렬(singular matrix)이라고 부르는데, 특이값이라고 부르는 특이 행렬의 대각 성분들은 양수(또는 0)이고 보통은 특이값들을 왼쪽 ..

(이 글에서는 행렬의 모든 원소가 실수인 경우를 다룬다.) 우선 행렬의 대각화의 의미부터 알아보자.행렬의 대각화실수인 정사각 행렬 $A$가 주어졌을 때 이 행렬에 $P^{-1}$와 $P$를 곱한 결과인 $P^{-1}AP$가 대각 행렬이 된다면 $A$는 대각화 가능하다고 말하고, 대각 행렬 $D$를 이용하여 $A=PD{P}^{-1}$로 표현하는 것을 행렬의 대각화라고 한다.어떤 행렬이 대각화된다는 것은 여러모로 편리한 일인데, 예를 들어 $A^n$을 계산하기 위해 행렬 곱셈을 여러 번 하는 것이 아니라 $A^n=PD{P}^{-1}PD{P}^{-1}\dots PD{P}^{-1}=P{D}^n{P}^{-1}$와 같이 간단히 \( A..

무한급수의 수렴 판정은 경우에 따라 매우 쉽기도 하지만 ( $1+r+r^2+r^3+\cdots$ ) , 다음 급수와 같은 경우는 배경 지식에 따라 쉽지 않을 수 있다. $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$$ 의 수렴 여부를 두 가지 다른 방법으로 보일텐데, 첫 번째는 $\frac{1}{n}$들을 정직하게 사용해서 무한대가 됨을 보이고, 그 다음은 특이적분을 사용해서 같은 결과가 나옴을 보이려고 한다. 1. 우선 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$의 수렴 여부를 판정하기 위해 이 급수를 다음과 같이 다시 쓰자. (사실 다음 식에서 두 번째 괄호 안에는 하나의 항이 있다.) $$\begin{aligned} \left( \frac..

실수에서 정의되는 지수함수와 로그함수의 정의로 사용되는 것은 대체로 다음 두 가지 접근인데, 거듭제곱의 개념으로부터 실수 지수함수로 확장하고 이 지수함수를 사용해서 로그함수 정의 정적분의 형태로 자연로그함수를 정의하고 자연로그함수로부터 자연지수함수 정의 각각의 정의에 따라 도함수를 구해보자. (이 글에서 $a$는 1이 아닌 양수라고 가정한다.) 1. 거듭제곱으로서의 지수함수 (이하 방법 1이라고 하자) 지수가 자연수인 경우는 가장 기초적인 경우로, 밑 $a$를 여러 번 곱한다는 의미다. 지수가 정수로 확장되어도 직관적으로 무리가 없는데, 다만 $a^0$ 과 $a^{-n}$ 같은 경우는 마음대로 정한 것은 아니고 $a^{n+m}=a^n{a}^m$와 같은 지수법칙을 따르려면 자연스럽게 정..