지수/로그함수의 미분

실수에서 정의되는 지수함수와 로그함수의 정의로 사용되는 것은 대체로 다음 두 가지 접근인데,

1. 거듭제곱의 개념으로부터 실수 지수함수로 확장하고 이 지수함수를 사용해서 로그함수 정의
2. 정적분의 형태로 자연로그함수를 정의하고 자연로그함수로부터 자연지수함수 정의

각각의 정의에 따라 도함수를 구해보자.

 

(이 글에서 $a$는 1이 아닌 양수라고 가정한다.)

 

1. 거듭제곱으로서의 지수함수 (이하 방법 1이라고 하자)

지수가 자연수인 경우는 가장 기초적인 경우로, 밑 $a$를 여러 번 곱한다는 의미다.

 

지수가 정수로 확장되어도 직관적으로 무리가 없는데, 다만 $a^0$ 과 $a^{-n}$ 같은 경우는 마음대로 정한 것은 아니고 $a^{n+m}=a^n{a}^m$와 같은 지수법칙을 따르려면 자연스럽게 정해진다.

 

지수가 유리수가 되면 정수까지의 경우보다는 덜 직관적인 편이지만, 그 의미는 여전히 지수법칙에 따라 결정되는 것으로 예를 들어 $a^{1.3}$의 의미는 그 값을 10 번 제곱하면 $a^{13}$이 되는 수라는 것 $((a^{1.3}{)}^{10}=a^{1.3\times 10}=a^{13})$

지수를 무리수까지 확장하려면 유리수처럼 간단하게 설명이 되는 것은 아니고 유리수 지수인 거듭제곱의 극한으로 정의하게 되어서, 이 단계를 엄밀하게 설명하는 것은 많은 노력이 필요하고 이것이 거듭제곱을 확장하여 지수함수를 정의할 때의 단점 중 하나이다.

 

(간단한 일은 아니지만) 실수 $x$에 대해 $y=a^x$를 잘 정의했다고 치면 로그함수 $x={\log }_{a}y$는 $y=a^x$의 역함수로 정의되고 이때 로그함수는 $y>0$에서 정의된다.

 

로그함수의 성질은 그 역함수인 지수함수의 성질에 의해 결정되는데, 예를 들면

$${\log }_{a}1=0$$

$${\log }_a{y}_1{y}_2={\log }_a{y}_1+{\log }_a{y}_2$$

$${\log }_a{y}_1/y_2={\log }_a{y}_1-{\log }_a{y}_2$$

$$x_2{\log }_a{y}_1={\log }_a{y_1}^{x_2}$$
와 같은 것들이 있다.

로그함수까지 정의했으니 지수함수와 로그함수의 도함수를 그 정의에 따라 구해보면,
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}{a}^x& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}{a}^x\frac{a^h-1}{h}=a^x\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}\end{array}$$

마지막 부분에 등장하는 극한은 존재하는지도 알기 어려우니 혹시 로그함수의 도함수를 구해보면 도움이 될지 알아보자.

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}{\log }_{a}x& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_a(x+h)-{\log }_a(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_a\frac{x+h}{x}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}{\log }_a{(1+\frac{h}{x})}^{\frac{1}{h}}\\ & =\frac{1}{x}{\log }_a\underset{h\to 0}{lim}{(1+\frac{h}{x})}^{\frac{x}{h}}\end{array}$$

로그함수의 도함수를 구할 때 마지막 부분에 나타나는 극한에 대해서도 뭐라 말하기 어려운데 이 극한을 구하는 일도 결국 지수함수의 도함수 때와 마찬가지의 난이도임을 보일 수 있다.

 

정리하면 지수함수를 전통적인 방법인 거듭제곱의 확장으로 정의할 경우 (1) 지수를 실수로 확장하는 단계에서 많은 설명이 필요하고, (2) 지수/로그함수의 도함수를 구할 때 바로 위에서 보이는 바와 같이 다루기 쉽지 않은 극한이 나타난다.

 

2. 자연로그로부터 지수/로그함수 정의 (이하 방법 2라고 하자)

< 예비 지식 >

미적분에 관한 다음 몇 가지 사실을 알고 있다고 가정한다.

 

• ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{x}^p=p{x}^{p-1}$ (여기서 $p$는 유리수)
• $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$이면 적당한 상수 $C$에 대해 $f(x)=g(x)+C$
• ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_1^{x}f(t)dt=f(x)$
• $x=f(y)$, $y=f^{-1}(x)$ 이면, ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{f}^{-1}(x)={\displaystyle \frac{1}{\frac{d}{dy}f(y)}}$
• 유리수 지수에 대해서는 이미 잘 정의되어 있다고 가정한다. 즉, 유리수 $k$에 대해 $a^k$는 방법 1에서 나온 것과 같은 통상적인 의미의 거듭제곱을 의미한다.

 

< 자연로그함수 >

 

지수/로그에 대한 두 번째 접근은 양의 실수 $x$에 대해 정의되는 자연로그함수 $\ln (x)$로 시작한다. 이 글을 읽는 사람들은 자연로그함수라는 이름과 그 도함수가 $\frac{1}{x}$인 사실로부터 이게 결국 전통적인 의미의 로그(위에 나왔던 지수함수의 역함수)와 같아진다고 추측할 수 있겠지만, 동시에 도함수가 $\frac{1}{x}$인 것 등은 좋은 성질이긴 하지만 그것들로부터 일종의 로그함수라는 것을 보일 수 있을 것인지 의심할지도 모르겠다. 하지만 이제 곧 전개하는 내용을 보면 $\ln (x)$의 정의만 써도 많은 것들을 알아낼 수 있다.

• $\ln (1)={\int }_1^1\frac{1}{t}dt=0$
• ${\displaystyle \frac{d}{dx}}\ln (x)=\frac{1}{x}$
• $\ln (ax)=\ln (a)+\ln (x)$
  증명: $\ln (x)$와 $\ln (ax)$를 각각 $x$로 미분하면,
  $$\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{1}{x}$$
  $$\frac{d}{dx}\ln (ax)=\frac{1}{ax}\frac{d}{dx}(ax)=\frac{1}{x}$$
  따라서 어떤 상수 $C$에 대해, $\ln (ax)=\ln (x)+C$이 되는데 $x=1$을 대입하면 $C=\ln (a)$임을 알 수 있다.
• 유리수 $k$에 대해, $\ln (x^k)=k\ln (x)$
  증명: 앞에서와 같이 양변을 미분해보면,
  $$\frac{d}{dx}\ln (x^k)=\frac{1}{x^k}\frac{d}{dx}(x^k)=\frac{1}{x^k}k{x}^{k-1}=\frac{k}{x}$$
  $$\frac{d}{dx}k\ln (x)=\frac{k}{x}$$
  따라서 $\ln (x^k)=k\ln (x)+C$이 되고, $x=1$을 대입하면 $C=0$임을 알 수 있다.

끝으로 $\ln (x)=1$의 해를 $e$라고 부르기로 하며 자연로그함수에 대한 기본적인 설명을 마친다.

 

< 자연지수함수 >

$\exp (y)$를 자연지수함수라고 부르며, 이미 알고 있는 자연로그함수의 성질과 $\exp (y)$가 자연로그함수의 역함수라는 사실만으로 다음 몇 가지 사실을 알 수 있다.

• $\exp (0)=1$, $\exp (1)=e$
• $\frac{d}{dy}\exp (y)=\frac{1}{\frac{d}{dx}\ln (x)}=x=\exp (y)$
  
• $\exp (a^{\prime })\exp (y)=\exp (a^{\prime }+y)$
  증명: $\ln (ax)=\ln (a)+\ln (x)$에서 $a^{\prime }=\ln (a),y=\ln (x)$라고 하자.
  그러면 $ax=\exp (a^{\prime }+y)$. 따라서 $\exp (a^{\prime })\exp (y)=\exp (a^{\prime }+y)$
• 유리수 $k$에 대해, ${\exp (y)}^k=\exp (ky)$
  증명: $\ln (x^k)=k\ln (x)$에서 $y=\ln (x)$라고 하자.
  그러면 $x^k=\exp (k\ln (x))=\exp (ky)$. 따라서 $(\exp (y){)}^k=\exp (ky)$

마지막 항목인 ${\exp (y)}^k=\exp (ky)$에 $y=1$을 대입하면 $e^k=\exp (k)$를 얻는다.

적어도 $k$가 유리수인 경우는 $\exp (k)$가 이전에 알고 있던 지수함수의 형태로 표현됨을 알 수 있지만 어디까지나 유리수 지수의 경우만 해당되는 사항이다.

 

이제 중요한 얘기를 할 차례이다. (그렇다. 지금부터가 중요한 얘기인 것이다 :-|  )

 

방법 1에서 지수/로그함수를 정의할 때와 같이 방법 2에서도 최종적으로 모든 실수 $x$에 대해 $a^x$와 같은 함수를 정의하고 싶다. 뒤에서 정식으로 설명하겠지만 이런 함수가 사실은 $\exp (x)$와 비슷한 형태임을 보게 될 것인데, 위에서 자연로그함수와 자연지수함수에 대해 나열된 수식들 중에서 지수에 나타나는 값은 기껏해야 유리수 $k$이고 지수에 일반적인 실수가 나타나는 경우는 없었다.

 

이 단계가 좀 두리뭉실하게 느껴질 수도 있지만, 이제 지수에 대해 뭔가 말하고 있는 유일한 결과인 $(\exp (y){)}^k=\exp (ky)$를 실수로 확장하여 새로운 정의를 도입하려고 한다.

 

이것은 정의이다. 지금까지 방법 2의 어느 곳에서도 좌변과 같이 지수에 실수가 나타나는 경우가 없었음에 유의하자. 다시 얘기하면 자연지수함수의 실수 $r$승을 한다는 것의 정의는 단순히 $\exp (y)$의 $y$ 자리에 $ry$를 넣는다는 것인데, 이게 무엇에 관한 정의인지 너무 심각하게 생각하지 않고 특정 위치에 어떤 실수( $r$ )를 곱한 것일뿐이라고 생각한다면 이 정의에 이해하기 어렵거나 (거듭제곱과 비교해서) 복잡한 부분은 없다. 물론 $r$이 유리수인 경우는 이 정의에 의해서가 아니라 위에서 $\exp (ry)$가 됨을 이미 증명하였다. 즉, 이 정의는 유리수의 경우는 이미 알고 있는 식과 일치하고 무리수인 부분에 대해서만 새로 정의한 것이다.

 

참고로 이 작업을 자연로그함수에 대해서도 할 수 있었다. 자연로그함수의 성질 중에 $\ln (x^k)=k\ln (x)$가 있으니 유리수 $k$ 자리에 실수 $r$을 넣으면서 실수 지수에 대한 뭔가를 얻을 수 있기 때문이다. 다만 그렇게 되면 지수 형태가 자연로그함수 내부에 나타나기 때문에 좀 더 보기 편한 방식은 자연지수함수를 써서 실수로 확장하는 것이라고 할 수 있다.

 

얘기가 나온김에 방금 언급한 식이 자연지수함수의 실수승에 대한 정의로부터 따라나옴을 보이자.

• 임의의 실수 $r$에 대해, $\ln (x^r)=r\ln (x)$
  증명: $(\exp (y){)}^r=\exp (ry)$에 $y=\ln (x)$를 대입하면, $x^r=\exp (r\ln (x))$.
  따라서 $\ln (x^r)=r\ln (x)$

이렇게 지수에 실수가 나타날 수 있도록 정의를 확장하고나면 이를 이용해서 추가적인 정의 몇 가지를 소개할 수 있다.

• 임의의 실수 $x$에 대해, $(\exp (1){)}^x=\exp (x)$. 따라서 $e$의 정의에 의해 $\exp (x)=e^x$
  여기서 주의할 점은 $e^x$가 방법 1에서와 같은 거듭제곱의 의미도 아니고 뭔가 증명한 것도 아닌 단순히 $\exp (1)$를 $e$라고 간단히 쓴 결과일 뿐이라는 점이다. 앞서 했던 비슷한 얘기와 마찬가지로 $r$이 유리수인 경우는 (새로운 정의 때문이 아니라) $\exp (r)=e^r$임을 이미 보였었다.
• 또한 $\ln (x)$이 $\exp (y)=e^y$의 역함수라는 점에 착안하여 $\ln (x)={\log }_{e}x$으로 표기할 수 있는데, 여기서 $\log$는 거듭제곱의 역함수의 의미를 가진 것이 아니라 $e^x$가 거듭제곱의 형태를 가지고 있으니 그 역함수( $\exp$의 역함수라서 실제로는 그냥 자연로그함수)의 적당한 표기로 도입된 것이다.

< 1이 아닌 양수 $a$가 밑인 지수함수와 로그함수 >

 

이제 드디어 $a^x$ 와 ${\log }_{a}x$에 해당하는 정의를 할 수 있게 되었다.

 

앞에서 실수 $x$에 대해 $(\exp (\alpha ){)}^x=\exp (\alpha x)$라고 정의했다. 따라서 $\exp (\alpha )=a$라면 좌변은 자연스럽게 $a^x$가 되고 그에 따라 우변은 $\exp (x\ln (a))$이 된다. 즉, 지금까지의 정의를 만족하려면 $a^x=\exp (x\ln (a))$가 되어야만 하는 것이다.

 

항상 그랬듯이 ${\log }_{a}x$는 $a^x$의 역함수를 위한 이름이다. 따라서 $y=a^x=\exp (x\ln (a))$를 $x$에 관하여 풀면, $x={\displaystyle \frac{\ln (y)}{\ln (a)}}$이 되고

이것으로 지수함수 $a^x=\exp (x\ln (a))$와 로그함수 ${\log }_{a}x={\displaystyle \frac{\ln (x)}{\ln (a)}}$의 정의를 완성하였다.

 

다만 한 가지 설명을 안 하고 넘어간 부분은 과연 방법 1과 방법 2에서의 지수/로그함수는 서로 같은 것인가 하는 점이다. $x$가 유리수인 경우는 방법 2에서도 방법 1의 거듭제곱의 정의를 그대로 사용하기 때문에 양쪽에서 $a^x$의 의미는 같다. 문제는 무리수에 대해서 서로 같은지에 대해 정당화가 없었다는 것인데, 방법 1과 방법 2 둘 다 무리수에서의 지수함수 값이 그 근처의 유리수에서의 지수함수 값과 비교할 때 아주 가까운 방식으로 정의되었기 때문에 직관적으로는 두 함수가 무리수에서도 일치한다고 할 수 있고 그렇다면 각각의 역함수인 로그함수도 서로 일치할 것이다.

 

< 도함수 >

 

잠깐 잊고 있었을지 모르겠지만 이 글의 제목은 "지수함수와 로그함수의 미분"이다.

 

$\ln (x)$과 $\exp (x)$의 도함수는 거의 정의로부터 나오므로 아주 간단하고 방법 1과는 달리 일반적인 지수/로그함수의 도함수도 각각의 정의를 생각해보면 간단하다.

 

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}{a}^x& =\frac{d}{dx}\exp (x\ln (a))\\ & =\exp (\ln (a)x)\frac{d}{dx}(x\ln (a))=a^x\ln (a)\\ \frac{d}{dx}{\log }_{a}x& =\frac{d}{dx}\frac{\ln (x)}{\ln (a)}\\ & =\frac{1}{\ln (a)}\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln (a)}\end{array}$$

 

방법 2를 요약하면 이렇다. 처음에 정적분을 사용해서 $\ln (x)$을 정의하고 나면, 우리가 이미 로그함수의 성질이라고 알고 있던 많은 사실들이 그로부터 증명되고, $\ln (x)$의 역함수인 $\exp (x)$도 지수함수의 성질이라고 알려져있는 많은 성질들을 그대로 가진다. $\exp (x)$에 유리수 지수를 취한 형태를 실수 전체로 확장하여 정의하면 (결정적인 단계!) 실수 전체에 대해 정의되는 지수함수 $a^x$와 그 역함수 ${\log }_{a}x$도 무리없이 정의 가능하고 방법 1과는 달리 이런 정의들로는 도함수가 간단히 도출된다.

 

3. 지수/로그함수 미분의 응용

< 다항함수 >

 

미분에 대해 처음 배울 때 기본적으로 배우는 것은

$$\frac{d}{dx}{x}^p=p{x}^{p-1}$$

이다. 그런데 $p$가 유리수까지는 증명이 어렵지 않게 되는데 $p$가 임의의 실수인 경우는 그렇지 않다.

하지만 방법 2와 같이 지수/로그함수를 정의해서 임의의 실수 $p$에 대해 $\ln (x^p)=p\ln (x)$라는 사실을 사용할 수 있다면, $\frac{d}{dx}\ln (x^p)=\frac{1}{x^p}\frac{d}{dx}{x}^p,\frac{d}{dx}p\ln (x)=\frac{p}{x}$로부터 임의의 실수 $p$에 대해 $\frac{d}{dx}{x}^p=p{x}^{p-1}$임이 증명된다.

 

< 그래서 $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{a^h-1}{h}}$ 와 $\underset{h\to 0}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{h}{x}})}^{\frac{x}{h}}$는? >

 

방법 1의 단점 중 하나가 도함수를 구할 때 쉽지 않은 극한이 등장한다는 점이었다. 이제는 지수/로그함수의 도함수를 이미 구했기 때문에 방법 1과 방법 2에서의 도함수들을 비교하면 

$$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{a^h-1}{h}}=\ln (a)$$

$$\underset{h\to 0}{lim}{(1+\frac{h}{x})}^{\frac{x}{h}}=e$$

가 됨을 알 수 있다.