1/n 의 급수 (부제: 특이적분을 사용한 급수의 수렴 판정)

무한급수의 수렴 판정은 경우에 따라 매우 쉽기도 하지만 ( $1+r+r^2+r^3+\cdots$ ) , 다음 급수와 같은 경우는 배경 지식에 따라 쉽지 않을 수 있다.

 

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$$

의 수렴 여부를 두 가지 다른 방법으로 보일텐데, 첫 번째는 $\frac{1}{n}$들을 정직하게 사용해서 무한대가 됨을 보이고, 그 다음은 특이적분을 사용해서 같은 결과가 나옴을 보이려고 한다.

 

1.

우선 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$의 수렴 여부를 판정하기 위해 이 급수를 다음과 같이 다시 쓰자. (사실 다음 식에서 두 번째 괄호 안에는 하나의 항이 있다.)

$$\begin{array}{rl}\left(\frac{1}{2^0}\right)& +(\frac{1}{2^0+1}+\cdots +\frac{1}{2^1})\\ & +(\frac{1}{2^1+1}+\cdots +\frac{1}{2^2})+\cdots \end{array}$$

 

맨 처음 항을 제외한 각각의 괄호 안의 항들의 합은 일반적으로 $\frac{1}{2^k+1}+\cdots +\frac{1}{2^{k+1}}$의 형태라서 이 항들의 개수는 $2^{k+1}-2^k=2^k$이다. 즉, 괄호 안의 수들의 합은 $\frac{2^k}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}$보다 크기 때문에 전체의 합은 무한대가 된다.

 

이런 종류의 증명은 이해하기는 쉬우나 직접 생각해내는 것은 그렇지 않고 수렴을 판정하기 위해서는 급수에 따라 각각 다른 방법이 필요하곤 한다.

 

그에 비해 다음 설명할 두 번 째 방법은 수열과 관련한 함수의 역도함수를 찾는 것으로 수렴을 판정하는 방법인데, 많은 경우 급수마다 새로운 접근을 하는 것에 비해 역도함수를 찾는 것이 더 수월하다는 것이 장점이다.

 

2.

아래는 (양수에서 정의된) $\frac{1}{x}$ 함수의 그래프인데, 그것만이 아니라 넓이가 $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$인 직사각형들도 함께 표시되어있다. 이 그래프로 알 수 있는 것은 $f(x)=\frac{1}{x}$과 $x$축 사이의 넓이인 정적분 값보다 무한 개의 직사각형들의 넓이의 합인 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots$이 더 크다는 점이다. 그런데 빨간색 곡선과 $x$축 사이의 넓이인 특이적분 ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}dx$는 $\ln (\mathrm{\infty })-\ln (1)$이고 이 값이 무한대이므로 우리가 관심있는 급수 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots$도 발산함을 알 수 있다.

1/x 그래프와 수열 1/n의 급수

 

증명은 생략하지만 위의 그래프를 보면 좀 더 일반적인 경우에도 무한급수의 수렴은 적당한 특이적분을 구하여 판정할 수 있겠다는 생각을 할 수 있는데, 여기서 일반적인 경우에 대한 기술은 아래 정리와 같다.

 

<정리> $f(x)$가 $x\ge 1$에서 정의된 연속인 함수일 때, 함수값이 양수이고 단조감소(증가하는 곳이 없이 계속적으로 감소)하면 무한급수 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}f(i)$가 수렴하기 위한 필요충분조건은 ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$가 수렴하는 것이다.

 

3. 방법 1에 대한 부연 설명

위에서 무한급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$의 수렴 판정을 위한 첫 번째 방법을 처음 생각한 사람은 어떤 과정으로 생각해 냈을지 모르겠지만, 내 경우엔 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$이 위의 그래프에서 보이는 것처럼 ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}dx$와 같은 추세로 증가한다는 점에 착안한 결과이다. 지수/로그함수의 미분에서 설명한 것처럼 ${\int }_1^z\frac{1}{x}dx$는 일종의 지수함수의 역함수이므로 $z$가 기하급수적으로 증가하면  ${\int }_1^z\frac{1}{x}dx$도 결국 원하는만큼 충분히 커지게 되는 성질이 있다는 사실을 사용하였다.