일반각에 대한 삼각함수의 덧셈정리 증명

\( \sin(x) \)이나 \( \cos(x) \) 함수의 덧셈정리가 왜 성립하는지 알기 위해 온라인 문서를 찾아보면 크게 두 가지 부류가 많이 발견된다.

1. 그림을 사용해서 작은 각도에 대해 증명
2. 2차원 평면에서 회전 이동을 의미하는 행렬을 가정하는 증명

첫 번째는 예를 들어 다음과 같은 그림을 보여주면서 \( \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta) \)의 증명이라고 설명하는 경우다.

양의 각 \( \alpha , \beta \) 가 둘 다 충분히 작아서 두 각의 합이 직각보다 작은 경우는 완벽한 증명이긴 하나 각도의 범위에 제한이 없는 일반각에 대해서 성립하는 설명은 아니다.

두 번째는 2차원 회전 변환 \( \begin{bmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{bmatrix} \)을 단위원 위에 있는 임의의 점 \( ( \cos(\beta) , \sin(\beta) ) \) 에 적용하는 방법인데, 맞는 얘기이기는 하나 이 회전 변환의 근거로 삼각함수의 덧셈정리를 생각하는 사람이 많다는 문제가 있다. 달리 말하면 \( \sin(x) \), \( \cos(x) \) 함수의 덧셈정리와 회전 변환은 사실상 같은 현상을 달리 표현한 것이라서 하나를 사용해서 다른 하나를 증명한다는 것은 별 의미없는 얘기다.

물론 잘 찾아보면 일반각에 대한 제대로된 덧셈정리 증명이 발견되지만 (증명도 어렵지 않음) 직관적이지는 않은 경우가 있어서 이 글에서는 일반각에 대한 \( \sin(x) \), \( \cos(x) \) 함수의 덧셈정리 증명을 직관적으로 이해가 쉬운 방식으로 해보려고 한다.

증명

여기에서 하려는 삼각함수의 덧셈정리 증명은 길이가 1인 2차원 벡터의 회전 변환의 증명이라고도 할 수 있다. 물론 둘 중 어느쪽도 그냥 가정하지는 않는다. 다음 그림에서 단위원과 파란색으로 표시된 임의의 단위 벡터 \( \langle a, b \rangle \) 로 시작해보자.

증명의 가장 핵심적인 부분은 벡터 \( \langle a, b \rangle \) 를 \( \theta \) 만큼 (시계 반대 방향으로) 회전한 결과가 \( a \), \( b \) 와 \( \sin(x) \), \( \cos(x) \) 함수를 사용하여 표현 가능함을 보이는 것이다. 위의 그림에서 추가적인 벡터 두 개를 볼 수 있는데 바로 \( u = \langle 1, 0 \rangle \) 와 \( v = \langle 0, 1 \rangle \)이다. 여기서 필요한 기본적인 사실은 벡터 \( \langle a, b \rangle \) 이 다음과 같이 \( u \) 와 \( v \) 를 사용하여 표현된다는 점인데 그 이유는 위의 그림에서 확인할 수 있다.

$$ \langle a, b \rangle = a \langle 1, 0 \rangle + b \langle 0, 1 \rangle $$

이제 벡터 \( \langle a, b \rangle \) 를 \( \theta \) 만큼 회전한 결과를 아래 그림에서와 같이 빨간색 벡터 \( \langle a', b' \rangle \) 로 표현해보자.

뒤에서 다시 말하겠지만 위 그림에서 \( \theta \) 가 \( 0 \) 과 \( 2 \pi \) 사이의 각으로 표현된 것은 예시로 선택해서이고 벡터의 초기 방향이나 회전 각도 \( \theta \) 는 임의라서 최종적인 결론도 일반각의 대한 결과가 될 것이다.

그러면 \( \langle a', b' \rangle \) 를 \( \langle a, b \rangle \) 와 \( \theta \) 를 사용하여 표현하는 방법을 생각해보자.

한 가지 방법은 벡터 \( u \) 와 \( v \)를 사용하는 것인데, 이를 위해 \( u \) 와 \( v \) 도 \( \theta \) 만큼 회전한다.

위 그림에서 \( u \) 와 \( v \) 를 \( \theta \) 만큼 회전한 결과를 각각 \( u' \) 과 \( v' \) 이라고 표시하였다. 여기에서 주목할 점은 이렇게 세 벡터 \( \langle a, b \rangle \), \( u \), \( v \) 를 똑같은 만큼 회전한 후에도 그들 사이의 관계는 그대로 유지되고 따라서 $$ \langle a', b' \rangle = a u' + b v' $$ 이 됨을 알 수 있다.

이제 \( u' \) 과 \( v' \) 을 \( \theta \)를 사용하여 표현할텐데, 먼저 \( u = \langle 1, 0 \rangle \)를 \( \theta \) 만큼 회전하면 \( \sin(\theta) \) 와 \( \cos(\theta) \) 의 정의에 따라

$$ u' = \langle \cos(\theta), \sin(\theta) \rangle $$ 를 얻는다. 그리고 \( v = \langle 0, 1 \rangle \) 를 \( \theta \) 만큼 회전한다는 것은 \( u = \langle 1, 0 \rangle \) 를 \( \theta + \pi / 2 \) 만큼 회전하는 것과 같고 결과적으로

$$ v' = \langle \cos(\theta + \pi / 2), \sin(\theta + \pi / 2) \rangle = \langle -\sin(\theta), \cos(\theta) \rangle $$ 가 된다.

지금까지 설명한 내용을 종합하면

$$\begin{aligned}
\langle a', b' \rangle = a u' + b v' &= a \langle \cos(\theta), \sin(\theta) \rangle + b \langle -\sin(\theta), \cos(\theta) \rangle \\ &= \langle a \cos(\theta) - b \sin(\theta), a \sin(\theta) + b \cos(\theta) \rangle
\end{aligned}$$ 을 얻는다.

그런데 임의의 벡터 \( \langle a, b \rangle \) 는 애초에 \( \langle 1, 0 \rangle \) 을 임의의 각 \( \phi \) 만큼 회전한 \( \langle \cos(\phi), \sin(\phi) \rangle \) 라고 볼 수 있고, 같은 표기를 이어서 사용한다면 \( \langle a', b' \rangle \)는 \( \langle \cos(\phi + \theta), \sin(\phi + \theta) \rangle \) 가 되므로 결과적으로

$$ \langle \cos(\phi + \theta), \sin(\phi + \theta) \rangle = \langle \cos(\phi) \cos(\theta) - \sin(\phi) \sin(\theta), \cos(\phi) \sin(\theta) + \sin(\phi) \cos(\theta) \rangle $$

가 되어 증명이 끝난다.

잊지 말아야 할 점은 이 논의가 아주 큰 수, 또는 음수도 될 수 있는 임의의 실수 \( \theta \) 와 \( \phi \)에 대해 성립한다는 것이고 위 그림에서 두 각도가 \( 2 \pi \)를 넘지 않는 양수로 표시된 것은 적당한 예시로 이해하면 된다.