일반각에 대한 삼각함수의 덧셈정리 증명

$\sin (x)$이나 $\cos (x)$ 함수의 덧셈정리가 왜 성립하는지 알기 위해 온라인 문서를 찾아보면 크게 두 가지 부류가 많이 발견된다.

1. 그림을 사용해서 작은 각도에 대해 증명
2. 2차원 평면에서 회전 이동을 의미하는 행렬을 가정하는 증명

첫 번째는 예를 들어 다음과 같은 그림을 보여주면서 $\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )$의 증명이라고 설명하는 경우다.

양의 각 $\alpha ,\beta$ 가 둘 다 충분히 작아서 두 각의 합이 직각보다 작은 경우는 완벽한 증명이긴 하나 각도의 범위에 제한이 없는 일반각에 대해서 성립하는 설명은 아니다.

두 번째는 2차원 회전 변환 $\left[\begin{array}{cc}\cos (\alpha )& -\sin (\alpha )\\ \sin (\alpha )& \cos (\alpha )\end{array}\right]$을 단위원 위에 있는 임의의 점 $(\cos (\beta ),\sin (\beta ))$ 에 적용하는 방법인데, 맞는 얘기이기는 하나 이 회전 변환의 근거로 삼각함수의 덧셈정리를 생각하는 사람이 많다는 문제가 있다. 달리 말하면 $\sin (x)$, $\cos (x)$ 함수의 덧셈정리와 회전 변환은 사실상 같은 현상을 달리 표현한 것이라서 하나를 사용해서 다른 하나를 증명한다는 것은 별 의미없는 얘기다.

물론 잘 찾아보면 일반각에 대한 제대로된 덧셈정리 증명이 발견되지만 (증명도 어렵지 않음) 직관적이지는 않은 경우가 있어서 이 글에서는 일반각에 대한 $\sin (x)$, $\cos (x)$ 함수의 덧셈정리 증명을 직관적으로 이해가 쉬운 방식으로 해보려고 한다.

증명

여기에서 하려는 삼각함수의 덧셈정리 증명은 길이가 1인 2차원 벡터의 회전 변환의 증명이라고도 할 수 있다. 물론 둘 중 어느쪽도 그냥 가정하지는 않는다. 다음 그림에서 단위원과 파란색으로 표시된 임의의 단위 벡터 $⟨a,b⟩$ 로 시작해보자.

증명의 가장 핵심적인 부분은 벡터 $⟨a,b⟩$ 를 $\theta$ 만큼 (시계 반대 방향으로) 회전한 결과가 $a$, $b$ 와 $\sin (x)$, $\cos (x)$ 함수를 사용하여 표현 가능함을 보이는 것이다. 위의 그림에서 추가적인 벡터 두 개를 볼 수 있는데 바로 $u=⟨1,0⟩$ 와 $v=⟨0,1⟩$이다. 여기서 필요한 기본적인 사실은 벡터 $⟨a,b⟩$ 이 다음과 같이 $u$ 와 $v$ 를 사용하여 표현된다는 점인데 그 이유는 위의 그림에서 확인할 수 있다.

$$⟨a,b⟩=a⟨1,0⟩+b⟨0,1⟩$$

이제 벡터 $⟨a,b⟩$ 를 $\theta$ 만큼 회전한 결과를 아래 그림에서와 같이 빨간색 벡터 $⟨a^{\prime },b^{\prime }⟩$ 로 표현해보자.

뒤에서 다시 말하겠지만 위 그림에서 $\theta$ 가 $0$ 과 $2\pi$ 사이의 각으로 표현된 것은 예시로 선택해서이고 벡터의 초기 방향이나 회전 각도 $\theta$ 는 임의라서 최종적인 결론도 일반각의 대한 결과가 될 것이다.

그러면 $⟨a^{\prime },b^{\prime }⟩$ 를 $⟨a,b⟩$ 와 $\theta$ 를 사용하여 표현하는 방법을 생각해보자.

한 가지 방법은 벡터 $u$ 와 $v$를 사용하는 것인데, 이를 위해 $u$ 와 $v$ 도 $\theta$ 만큼 회전한다.

위 그림에서 $u$ 와 $v$ 를 $\theta$ 만큼 회전한 결과를 각각 $u^{\prime }$ 과 $v^{\prime }$ 이라고 표시하였다. 여기에서 주목할 점은 이렇게 세 벡터 $⟨a,b⟩$, $u$, $v$ 를 똑같은 만큼 회전한 후에도 그들 사이의 관계는 그대로 유지되고 따라서 $$⟨a^{\prime },b^{\prime }⟩=a{u}^{\prime }+b{v}^{\prime }$$ 이 됨을 알 수 있다.

이제 $u^{\prime }$ 과 $v^{\prime }$ 을 $\theta$를 사용하여 표현할텐데, 먼저 $u=⟨1,0⟩$를 $\theta$ 만큼 회전하면 $\sin (\theta )$ 와 $\cos (\theta )$ 의 정의에 따라

$$u^{\prime }=⟨\cos (\theta ),\sin (\theta )⟩$$ 를 얻는다. 그리고 $v=⟨0,1⟩$ 를 $\theta$ 만큼 회전한다는 것은 $u=⟨1,0⟩$ 를 $\theta +\pi /2$ 만큼 회전하는 것과 같고 결과적으로

$$v^{\prime }=⟨\cos (\theta +\pi /2),\sin (\theta +\pi /2)⟩=⟨-\sin (\theta ),\cos (\theta )⟩$$ 가 된다.

지금까지 설명한 내용을 종합하면

$$\begin{array}{rl}⟨a^{\prime },b^{\prime }⟩=a{u}^{\prime }+b{v}^{\prime }& =a⟨\cos (\theta ),\sin (\theta )⟩+b⟨-\sin (\theta ),\cos (\theta )⟩\\ & =⟨a\cos (\theta )-b\sin (\theta ),a\sin (\theta )+b\cos (\theta )⟩\end{array}$$ 을 얻는다.

그런데 임의의 벡터 $⟨a,b⟩$ 는 애초에 $⟨1,0⟩$ 을 임의의 각 $\varphi$ 만큼 회전한 $⟨\cos (\varphi ),\sin (\varphi )⟩$ 라고 볼 수 있고, 같은 표기를 이어서 사용한다면 $⟨a^{\prime },b^{\prime }⟩$는 $⟨\cos (\varphi +\theta ),\sin (\varphi +\theta )⟩$ 가 되므로 결과적으로

$$⟨\cos (\varphi +\theta ),\sin (\varphi +\theta )⟩=⟨\cos (\varphi )\cos (\theta )-\sin (\varphi )\sin (\theta ),\cos (\varphi )\sin (\theta )+\sin (\varphi )\cos (\theta )⟩$$

가 되어 증명이 끝난다.

잊지 말아야 할 점은 이 논의가 아주 큰 수, 또는 음수도 될 수 있는 임의의 실수 $\theta$ 와 $\varphi$에 대해 성립한다는 것이고 위 그림에서 두 각도가 $2\pi$를 넘지 않는 양수로 표시된 것은 적당한 예시로 이해하면 된다.