정수 계수 다항식의 인수분해

고등학교 수학에서 정수 계수 다항식의 인수분해가 나올 때는 거의 항상 일차항을 포함한 인수분해가 가능하여 그 다항식이 근을 가지는 형태로 등장한다. 그렇지 않으면 인수분해가 어렵기 때문이다. 이와 관련한 정수 계수 다항식의 성질 중 하나는 다항식 \( a_n x^n + a_{n-1} x^{x-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \) 이 유리수 근을 가지면 그 형태는 $$ \pm \frac{a_0 \text{의 약수}}{a_n \text{의 약수}} $$ 가 된다는 사실이다. (증명은 어렵지 않으니 필요하면 각자 해보자.) 간혹 이런 근이 항상 존재하는 것처럼 설명하는 경우가 있는데 모든 정수 계수 다항식에 대해 유리수 근이 항상 존재하는 것은 아니고 만약 존재한다면 이런 형태를 가진다는 것 뿐이다. 즉, 인수분해할 다항식이 근을 가진다고 막연히 가정하고 다항식에 위와 같은 형태의 유한개의 모든 유리수값을 대입해보는 방식으로 일차항을 포함한 유리수 계수 다항식들로 인수분해할 수 있는 것이다. 그래서 고등학교 수학에서 정수 계수 다항식의 인수분해를 할 일이 있다면 그 다항식의 차수가 크게 높지 않고 (3차~4차?) 유리수 근이 있는 적당히 편리한 다항식으로 한정하는 경우가 대부분이다.

 

그런데 여기까지만 얘기하면 우리가 얻는 결론은 유리수 근이 존재하는 적당히 좋은 정수 계수 다항식은 유리수 계수 다항식들로 인수분해할 수 있다는 것이다. 인수분해한 일차항 중에 \( (x - \text{유리수}) \)가 있다는 것만으로 전체 인수들이 전부 정수 계수가 된다고 말할 수 없기 때문이다.

 

하지만 이와 관련해서 고등학교 교육과정에 있는 내용은 아니지만 좀 더 강한 결과가 알려져 있으니, 정수 계수 다항식이 유리수 계수 다항식들로 인수분해 된다면 분해된 인수들에 적당한 정수들을 곱하거나 나누어서 정수 계수 다항식들의 인수분해로도 쓸 수 있고 (*), 따라서 일차항을 포함하는 다항식으로 한정해서 생각해보면 \( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{x-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \)이 기약 분수 \( \dfrac{r}{s} \)을 근으로 가지는 경우 \( f(x) \)는 \( (s x - r) \)을 포함한 정수 계수 다항식들로 인수분해된다.

 

(*)에 대한 추가적인 설명은 이렇다.

정수 계수의 다항식 \( f(x) \)가 유리수 계수의 다항식 \( g(x) \)와 \( h(x) \)로 인수분해된다고 하자. 그러면 \( g(x) \)와 \( h(x) \) 를 각각 계수들의 최대공약수가 1인 정수 계수 다항식 \( g'(x) \)와 \( h'(x) \)에 적당한 유리수 \( c_g \), \( c_h \)가 곱해진 형태로 표현할 수 있다. 즉, \( f(x) = (c_g g'(x)) (c_h h'(x)) = c_g c_h g'(x) h'(x) \). 이제 가장 핵심적인 단계인데, 계수들의 최대공약수가 1인 정수 계수 다항식들의 곱 \( g'(x) h'(x) \)의 계수들도 최대공약수가 1이라는 것이 알려져 있다. 혹시 이게 당연하다고 생각된다면 착각일 가능성이 높은데, 그 증명은 간단치 않으므로 생략한다. 어쨌든 \( g'(x) h'(x) \)의 계수들의 최대공약수가 1이기 때문에 정수 계수의 다항식 \( (c_g c_h) ( g'(x) h'(x) ) \) 중에서 \( c_g c_h \)는 정수여야 하므로 결과적으로 \( f(x) \)이 정수 계수 다항식들로 인수분해가 될 수 있다.

 

만약 어떤 정수 계수 다항식을 유리수 계수 다항식들로 인수분해하고나서 각 인수들에 적당한 정수들을 곱하고 나누는 방법으로 정수 계수 다항식들의 인수분해를 얻는 경험을 했다면 우연히 그렇게 된 것이 아닐까 생각할지 모르겠지만 위에서 기술한 것처럼 우연이 아니라 그렇게 되는 정수 계수 다항식 인수들을 항상 찾을 수 있기 때문이다.

 

한 가지 특별한 경우로, 만약 \( f(x) \)의 최고차항의 계수가 1이라면 위의 다항식에서 \( a_n = 1 \)이므로 \( s = \pm 1 \)일 수 밖에 없고, 따라서 이 경우에 유리수 근은 사실 정수 \( t \)라서 \( f(x) \)는 \( (x - t) \)을 포함한 정수 계수 다항식들로 인수분해된다.